EL PERIMETRO DE LA ELIPSE RESUELTO

PERIMETRO DE LA ELIPSE

ECUACION BETA.

Autor: Luis Ramírez.

Hay una nueva ecuación que nos dice que el perímetro de la elipse es igual al perímetro de un circulo de radio igual al semi eje mayor por un valor porcentual.

La formula es la siguiente:

(1)

¿Qué es ese porcentaje?

Respuesta: El porcentaje es la división del Perímetro de la elipse entre el Perímetro del círculo.

(2)

Para que se cumpla la ecuación 2 el semi eje de la elipse debe ser igual al radio del círculo como se muestra en la figura 1.

Figura 1: Elipse de semi eje mayor a= 1

y circulo de radio r=1

Nombre del Valor Porcentual

Al valor Porcentual que aparece en la ecuación 1 y en la ecuación 2, le di el nombre de Número Beta y se representa por la letra griega Beta (β).

Por lo tanto, a la ecuación se le dio el nombre de Ecuación Beta (vea la ecuación 3).

%= β

(3)

El origen de esta Nueva Ecuación aparece en el libro:

Nuevo Método para Calcular el Perímetro de la Elipse: Introducción de la Ecuación Beta.

Autor: Luis Ramírez.

https://www.amazon.com/-/es/LUIS-RAMIREZ/dp/B0B5NP9RBT

A continuación, les ofrezco de forma gratuita el uso de la Ecuación Beta.

CALCULO DEL NÚMERO BETA

El valor exacto del número Beta se calcula con esta ecuación:

(4)

Donde:

Para obtener el valor del número Beta de la elipse con la ecuación 4 tenemos que saber el valor del ángulo inicial del primer termino

El valor de este ángulo inicial depende de la razón b/a.

El valor del ángulo inicial de cada razón b/a esta en una tabla.

Si el valor de la razón b/a aparece exactamente en la tabla, cuando reemplazamos el ángulo inicial en la ecuación 4 obtenemos un perímetro con una exactitud y certeza de 13 cifras significativas y 0% de error.

Ahora les presento algunos ejemplos de aplicación:

EJEMPLO 1.

Calcule el Perímetro de Elipse: a= 10 m y b= 8.5 m

Razón b/a= 8.5/10 = 0.85

Buscamos en la tabla:

En la tabla se observa que para b/a= 0.85 el ángulo inicial es de 0°

La excentricidad es:

Calculamos los valores de beta de la ecuación 4:

El valor de Beta se calcul dividiendo la suma de los 6 términos entre 6:

El perímetro se calcula con la ecuación beta:

LA RESPUESTA TIENE UNA PRECISIÓN DE 12 cifras significativas.

EJEMPLO 2.

Calcule el Perímetro de Elipse: a= 10 m y b= 2.28 m

Razón b/a= 2.28/10 = 0.228

Buscamos en la tabla el ángulo de esta razón:

Con el ángulo inicial, Calculamos los 6 términos del numero beta:

La respuesta tiene una exactitud de 12 cifras significativas.

A continuación les presento una tabla con varios perímetros calculados. En la tabla se muestran los ángulos iniciales de cada elipse, el perímetro calculado con la ecuación 4 y el perímetro exacto calculado con programación en una hoja Excel utilizando muchos términos.

TABLA I

Los perímetros calculados con la ecuación 4 tiene una precisión y certeza de 13 cifras significativas.

Estos mismos perimetros fueron calculados por Chandrupatla y Osler y presentados en una tabla en el trabajo titulado

THE PERIMETER OF AN ELLIPSE, presentado a la Rowan University. La tabla esta en la pagina 7 de este trabajo.

Les presento los perímetros de esta tabla calculados con la serie de Gauss- Kummer, Maclaurin, Euler y Cayley.

Usted lo puede encontrar en el sitio web siguiente:

THE PERIMETER OF AN ELLIPSE - Archive.org

TABLA II

En la tabla II se observa que a partir de b/a= 0.8 Gauss-Kummer, Euler y Maclaurin requieren de muchos termino para calcular el valor exacto de estas elipses. La serie infinita ganadora que utilizo menos términos es la serie de Cayley utilizo solo 76027 términos.

Con la ecuación Beta de 6 términos calculamos todos estos perímetros con exactitud y precisión.

La ecuación beta programada como una serie infinita sin el uso de la tablas predice todos estos perímetros con solo 36843 términos, si restamos los términos que utiliza la serie de Cayley de los términos que utiliza la ecuación beta:

76027- 36843=39184

La ecuación beta utiliza 39184 términos menos que la serie de Cayley que es la ecuación ganadora en la tabla II, (trabajo de Chandrupatla y Osler).

ANGULO INICIAL POR INTERPOLACIÓN